Résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues
Utilisez gratuitement ce calculateur pour résoudre un système de deux équations à deux inconnues. Entrez les six coefficients et obtenez une solution exacte ainsi que les étapes détaillées de la résolution.
Résolveur de système d'équations
Résultat
Étapes de résolution
Résoudre un système de deux équations à deux inconnues
Résoudre un système de deux équations à deux inconnues consiste à rechercher les valeurs des variables x et y qui vérifient simultanément les deux équations. Ce type de système est très courant en mathématiques au collège, au lycée et dans les études scientifiques.
Un système de deux équations à deux inconnues peut être écrit sous la forme générale suivante :
dx + ey = f
Dans cette écriture, a, b, c, d, e et f sont les coefficients du système tandis que x et y sont les deux inconnues à déterminer.
Comment résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues ?
Il existe plusieurs méthodes pour résoudre un système de deux équations à deux inconnues. Les méthodes les plus utilisées sont la méthode par substitution, la méthode par élimination et la méthode de Cramer.
Le choix de la méthode dépend de la forme des équations. Dans certains exercices, la substitution est particulièrement simple lorsqu'une inconnue peut être facilement isolée. Dans d'autres situations, l'élimination permet de supprimer directement une variable.
Résolution avec la méthode de Cramer
Pour le système général :
dx + ey = f
on commence par calculer le déterminant principal :
Si D est différent de zéro, le système possède une solution unique. Les deux inconnues peuvent alors être calculées à l'aide des déterminants :
Les solutions sont ensuite :
Les trois situations possibles
Lorsqu'on résout un système de deux équations à deux inconnues, trois situations principales peuvent se présenter.
- Une solution unique : un seul couple (x ; y) vérifie les deux équations.
- Une infinité de solutions : les deux équations représentent la même relation.
- Aucune solution : les deux équations sont incompatibles.
Que signifie une solution unique ?
Une solution unique signifie qu'il existe un seul couple de nombres (x ; y) permettant de satisfaire simultanément les deux équations.
Par exemple, considérons :
x − y = 1
La résolution permet d'obtenir :
y = 2
Le couple solution est donc (3 ; 2). En remplaçant x par 3 et y par 2 dans les deux équations, on retrouve bien les égalités de départ.
Que se passe-t-il lorsque le déterminant est nul ?
Lorsque D = ae − bd = 0, le système ne possède pas de solution unique. Il faut alors examiner les équations afin de déterminer si elles sont équivalentes ou incompatibles.
Si les deux équations sont proportionnelles, elles représentent la même droite et le système possède une infinité de solutions. Si elles ne sont pas proportionnelles, elles peuvent représenter deux droites parallèles distinctes : le système n'a alors aucune solution.
Les coefficients négatifs, décimaux et nuls
Le résolveur proposé sur cette page accepte différents types de coefficients. Vous pouvez notamment saisir des nombres entiers, décimaux, négatifs ou nuls.
Par exemple, un système peut contenir des expressions telles que −2x, 0,5y ou 3,25. Le calculateur effectue les opérations en conservant autant que possible la forme exacte du résultat.
Pourquoi utiliser ce calculateur de système d'équations ?
Ce calculateur permet de résoudre rapidement un système de deux équations à deux inconnues sans effectuer manuellement toutes les opérations intermédiaires. Il peut être utilisé pour vérifier un exercice de mathématiques, contrôler un résultat ou mieux comprendre les différentes étapes d'une résolution.
L'outil affiche les calculs intermédiaires, notamment le déterminant D, les valeurs de Dx et Dy, puis les valeurs finales de x et y.
Lorsque la solution n'est pas entière, le résultat peut être présenté sous forme de fraction exacte plutôt qu'une simple approximation décimale.
Comment utiliser le résolveur ?
Pour utiliser le calculateur, commencez par identifier les six coefficients de votre système : a, b, c, d, e et f.
Saisissez ensuite ces valeurs dans les champs correspondants. Cliquez sur « Résoudre le système » pour obtenir automatiquement le résultat et les étapes de calcul.
Si vous souhaitez effectuer un nouveau calcul, utilisez le bouton « Effacer » afin de vider les six champs.
Exemple supplémentaire avec une solution fractionnaire
Considérons le système :
x + 3y = 7
Le déterminant principal est :
On obtient ensuite :
Les solutions sont donc :
Le calculateur peut ainsi afficher directement les solutions fractionnaires exactes.
À retenir
- Un système de deux équations à deux inconnues contient généralement x et y.
- Les six coefficients peuvent être entiers, décimaux, négatifs ou nuls.
- Un système peut avoir une solution unique, aucune solution ou une infinité de solutions.
- Le déterminant permet notamment de déterminer si une solution unique existe.
- Une solution doit vérifier simultanément les deux équations.
- Une solution peut être un nombre entier, décimal ou une fraction.
Questions fréquentes sur les systèmes d'équations
Quelle est la formule d'un système de deux équations à deux inconnues ?
La forme générale est ax + by = c et dx + ey = f, où x et y sont les inconnues et les autres lettres représentent les coefficients.
Quelle méthode utiliser pour résoudre un système ?
Les méthodes les plus courantes sont la substitution, l'élimination et la méthode de Cramer. Le choix dépend principalement de la forme du système.
Peut-on résoudre un système avec des nombres décimaux ?
Oui. Le calculateur accepte les coefficients décimaux ainsi que les nombres négatifs et les coefficients nuls.
Pourquoi le résultat est-il parfois une fraction ?
Certaines équations conduisent naturellement à une solution fractionnaire. Le calculateur conserve alors la forme exacte de la solution.
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